Question

命題p：函數y=log₂（x²-2x）的單調增區間是[1，+∞），命題q：函數y=

1

3x+1

的值域為（0，1），下列命題是真命題的為（　　）

Answer 1

分析：求出函數y=log₂（x²-2x）的定義域，找出定義域內的內層函數t=x²-2x的增區間，結合外層函數y=log₂t的單調性求出函數y=log₂（x²-2x）的單調增區間，從而判斷出命題p的真假，利用指數函數的值域求出函數y=

1

3x+1

的值域，判斷出命題q的真假，最后結合復合命題的真假判斷得到正確的結論．

解答：解：令t=x²-2x，則函數y=log₂（x²-2x）化為y=log₂t，
由x²-2x＞0，得：x＜0或x＞2，
所以，函數y=log₂（x²-2x）的定義域為（-∞，0）∪（2，+∞）．
函數t=x²-2x的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x=1，
所以，函數t=x²-2x在定義域內的增區間為（2，+∞）．
又因為函數為y=log₂t是增函數，所以，復合函數y=log₂（x²-2x）的單調增區間是（2，+∞）．
所以，命題p為假命題；
再由3^x＞0，得3^x+1＞1，
所以0＜

1

3x+1

＜1，
所以，函數y=

1

3x+1

的值域為（0，1），
故命題q為真命題．
所以p∧q為假命題，pVq為真命題，p∧（￢q）為假命題，￢q為假命題．
故選B．

點評：本題考查了復合命題真假的判斷，考查了復合函數單調性的求解方法，復合函數的單調性滿足“同增異減”，命題p中的函數是對數型的函數，求解時一定要注意定義域，這是該題易出錯的地方，此題是中檔題．