Question

如圖，在每個三角形的頂點處各放置一個數，使位于△ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別成等差數列．若頂點A，B，C處的三個數互不相同且和為l，則所有頂點上的數之和等于        。

Answer 1

解：由題意可得，（各點放的數用該點的坐標表示）
當n=2時，根據等差數列的性質可得，A+B=2D，A+C=2E，B+C=2F，且A+B+C=1
2（D+E+F）=2（A+B+C）=2，D+E+F=1∴f（2）=2=（3×4)/ 6
當n=3時，根據等差數列的性質可得，A+B=D+E，A+C=I+H，B+C=F+G，，且A+B+C=1
從而可得D+E+H+I+F+F=2（A+B+C）=2
同樣根據等差中項可得，M的數為1/ 3∴f（3）="3+1" /3 ="10/" 3 =4×5/ 6
同理可得，f（4）=5=5×6/ 6    f（n）="n(n+1)/" 6,