Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點(diǎn)，且2BE=EP.

(1）證明：AC⊥DE;
（2）若PC＝BC，求二面角E－AC一P的余弦值.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、線線垂直的判定和二面角的求法，可以用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問，先利用線面垂直得出線垂直于面內(nèi)的任意一條線，得到的條件后，利用線面垂直的判定定理得到平面，所以得證；第二問，用向量法求解，先求出面與面的法向量，再利用夾角公式求夾角.
試題解析：（1）∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴，∴平面，
∵平面，∴.       5分
（2）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/59/1/1oc7b4.png" style="vertical-align:middle;" />，
易知，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則
即，令，得，同理可取平面的法向量，
所以，所以二面角的余弦值為.      12分
考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理；2.向量法求二面角.