Question

如圖：點(diǎn)P在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的面對(duì)角線BC₁上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：
①C₁B與平面ABCD所成的角為45°；
②三棱錐A-D₁PC的體積不變；
③A₁P∥面ACD₁；
④DP⊥BC₁．
其中正確的命題的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，CB為C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC為C₁B與平面ABCD所成的角，等于45°；
對(duì)于②，可以證明BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，所以三棱錐A-D₁PC的體積不變；
對(duì)于③，可證面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由面面平行的性質(zhì)可得A₁P∥面ACD₁；
對(duì)于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾．

解答：解：對(duì)于①，CB為C₁B在平面ABCD中的射影，所以∠C₁BC為C₁B與平面ABCD所成的角，等于45°，故正確；
對(duì)于②，∵AD₁∥BC₁，BC₁?平面AD₁C，AD₁?平面AD₁C，∴BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，三棱錐A-D₁PC的體積不變，故正確；
對(duì)于③，連接A₁B，A₁C₁，則A₁C₁∥AC，∵AD₁∥BC₁∴面BA₁C₁∥面ACD₁，從而由面面平行的性質(zhì)可得A₁P∥面ACD₁，故正確；
對(duì)于④，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾，故不正確；
綜上知，①②③
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐體積求法中的等體積法，考查線面平行、垂直的判定，考查線面角，綜合性強(qiáng)．