Question

【題目】已知函數，

（1）求的最大值；

（2）若對于任意的，不等式恒成立，求整數a的最小值.（參考數據，）

Answer 1

【答案】（1）0；（2）3

【解析】

（1）先利用導數分析的單調性，即可求解；

（2）先構造兩函數之差為，本題轉化為，從而需分析的單調性.當時，用特值法得，得到不合題意；當時，分析的單調性得，再令 ，利用單調遞減和特值確定當時，，得到整數a的最小值為3.

（1）

令，即，解得，令，即，

解得.∴函數在上單調遞增，在上單調遞減；

的最大值為.

（2）令

所以.

當時，因為，所以.

所以在上是遞增函數，

又因為，

所以關于x的不等式不能恒成立.

當時，

令，得.

所以當時，；

當時，，

因此函數在是增函數，在是減函數.

故函數的最大值為，

令，

因為，，

且在是減函數.

所以當時，.

所以整數a的最小值為3.