Question

（理）若

a

，

b

，

c

均為單位向量，

a

•

b

=-

1

2

，

c

=x

a

+y

b

，

a

•

b

=-

1

2

（x，y∈R），則x+y的最大值是（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、

  2

• D、1

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：要求x+y的最大值，先來找x，y的關系，根據題目給的條件，很顯然需

c

=x

a

+y

b

兩邊進行平方，這樣會得到x²-xy+y²=1，令x+y=t，解出y=t-x帶入x²-xy+y²=1中，然后將得到的等式看成關于x的方程，該方程有解，所以△≥0，所以解出這個不等式便能得到x+y的最大值．

解答： 解：

c

2=(x

a

+y

b

)2=x2

a

2+2xy

a

•

b

+y2

b

2；
∵

a

，

b

，

c

均為單位向量，

a

•

b

=-

1

2

∴x²-xy+y²=1             ①；
令x+y=t，則y=t-x，帶入①得：3x²-3tx+t²-1=0       ②
可以把②看成關于x的方程，該方程有解，所以：
△=（-3t）²-12（t²-1）≥0，解得-2≤t≤2；
∴x+y的最大值為2．
故選A．

點評：令x+y=t，得到y=t-x并帶入到等式x²-xy+y²=1中，并將得到的式子看成關于x的方程，方程有解，判別式△≥0，這一過程是求解本題的關鍵．