Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AO⊥BO（如下圖所示），
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；
（Ⅱ）△AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)△AOB的重心為G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則， …（1）
∵OA⊥OB，
∴，……（2）
又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，
代入（2）化簡得，
∴，
所以重心為G的軌跡方程為；
（Ⅱ），
由（Ⅰ）得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以△AOB的面積存在最小值，存在時(shí)求最小值1。