Question

設a是實數，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）若函數f（x）為奇函數，求a的值；
（2）試證明：對于任意a，f（x）在R上為單調函數；
（3）若函數f（x）為奇函數，且不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）為奇函數，故可得f（x）+f（-x）=0，由此方程求a的值；
（2）證明于任意a，f（x）在R上為單調函數，由定義法證明即可，設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，研究f（x₁）-f（x₂）的符號，根據單調性的定義判斷出結果．
（3）因為f（x）在R上為增函數且為奇函數，由此可以將不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立，轉化為k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞對任意x∈R恒成立，再通過換元進一步轉化為二次不等式恒成立的問題即可解出此時的恒成立的條件．

解答：解：（1）∵f(-x)=a-

2

2-x+1

=a-

2•2x

1+2x

，且f（x）+f（-x）=0
∴2a-

2(1+2x)

1+2x

=0，∴a=1（注：通過f（0）=0求也同樣給分）
（2）證明：設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，∴(2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上為增函數．
（3）因為f（x）在R上為增函數且為奇函數，
由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得
f（k•3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k•3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞對任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞0，問題等價于t²-（1+k）t+2＞0，其對稱軸x=

k+1

2

當

k+1

2

＜0即k＜-1時，f（0）=2＞0，符合題意，
當

k+1

2

≥0即對任意t＞0，f（t）＞0恒成立，等價于

k+1 2 ≥0 △=(1+k)2-8＜0

解得-1≤k＜-1+2

2

綜上所述，當k＜-1+2

2

時，不等式f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0對任意x∈R恒成立．

點評：本題考查奇偶性與單調性的綜合，解題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性的定義以及函數單調性的定義，還有它們的判斷證明過程，第三小問函數的單調性與奇偶性相結合的一個典型題，綜合性強，變形靈活，由于其解題規律相對固定，故學習時掌握好它的解題脈絡即可心輕松解決此類題，題后注意總結一下解題的過程以及其中蘊含的固定規律．