Question

設a是實數，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)．
（1）當f（x）為奇函數時，求a的值；
（2）證明：對于任意a，f（x）在R上為增函數．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數在零處有意義可得f（0）=0，建立等量關系，求出a
（2）運用函數的定義判斷證明函數的單調性，先在取兩個值x₁，x₂后進行作差變形，確定符號，最后下結論即可．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數
∴f（0）=0，解得a=1；
（2）證明：設x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指數函數y=2^x在R上是增函數，
且x₁＜x₂，所以2x1＜2x2即2x1-2x2＜0，
又由2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，對于任意a，f（x）在R上為增函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，函數是描述變量之間關系的數學模型，函數單調性是函數的“局部”性質，屬于基礎題．