Question

已知實數a是常數，f（x）=x³+ax²-3x+7．
（I ）當x∈[2，+∞）時，f（x）的圖象的切線的斜率不小于0，求a的取值范圍；
（II）如果當x=3時，f（x）取得極值，當．x∈[1，4]時，證明：|f（x）|≤11．

Answer 1

分析：（I）根據導數的幾何意義可將題轉化為求使得f'（x）=3x²+2ax-3＜0對任意x∈R恒成立的a的取值范圍，進而根據二次函數的性質可解題．
（II）根據題中條件：“當x=3時，f（x）取得極值”知3是方程f′（x）=0的一個根，由此求得a值，再求出f（x）的最值即可證得：|f（x）|≤11．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-3
∵當x∈[2，+∞）時，f（x）的圖象的切線的斜率不小于0
∴當x∈[2，+∞）時，f′（x）=3x²+2ax-3≥0恒成立．
∴當x∈[2，+∞）時，a≥

3

2

（

1

x

-x）
∵當x∈[2，+∞）時，

3

2

（

1

x

-x）是減函數，
∴當x∈[2，+∞）時，

3

2

（

1

x

-x）的最大值為：

3

2

（

1

x

-2）=-

9

4

∴a≥-

9

4

（II）證明：設3，n是方程f′（x）=3x²+2ax-3=0的實數根，則：

n+3=- 2a 3 3n=-1

∴

n=- 1 3 a=-4

∴f（x）=x³-4x²-3x+7.-

1

3

∉[1，4]
∵f（1）=1，f（3）=-11，f（4）=-5
∴f（x）在[1，4]上的最小值是-11，最大值為：1
∴在[1，4]上|f（x）|的最大值為：11
∴x∈[1，4]時，|f（x）|≤11．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和函數在某點取得極值的條件．屬中檔題．