Question

設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的導數(shù)為f'（x），f'（x）在區(qū)間D上的導數(shù)為g（x），若在區(qū)間D上，g（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”已知實數(shù)m是常數(shù)，f(x)=

x4

12

-

mx3

6

-

3x2

2

（1）若y=f（x）在區(qū)間[0，3]上為“凸函數(shù)”，求m的取值范圍；
（2）若對滿足|m|≤2的任何一個實數(shù)m，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上都為“凸函數(shù)”，求b-a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立?

g(0)＜0 g(3)＜0

，解得m即可；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x²-3＜0對?m∈[-2，2]上恒成立?

p(-2)＜0 p(2)＜0

，即轉(zhuǎn)化為看作關于m的一次函數(shù)，利用其單調(diào)性即可解得x即可．

解答：解：f′(x)=

1

3

x3-

1

2

mx2-3x，g（x）=x²-mx-3．
（1）由題意可得g（x）＜0在[0，3]上恒成立，
∴

g(0)＜0 g(3)＜0

，解得m＞2．
∴m的取值范圍是（2，+∞）；
（2）令p（m）=g（x）=-xm+x²-3＜0對?m∈[-2，2]上恒成立，
∴

p(-2)＜0 p(2)＜0

，解得-1＜x＜1．
∴（b-a）_max=1-（-1）=2．

點評：正確把問題等價轉(zhuǎn)化和熟練掌握導數(shù)的運算法則、一次函數(shù)和二次函數(shù)等是解題的關鍵．