Question

設函數f（x）的定義域為R，若|f（x）|≤|x|對一切實數x均成立，則稱函數f（x）為Ω函數．
（Ⅰ）試判斷函數f₁（x）=xsinx、f₂（x）=

e-x

ex+1

和f₃（x）=

x2

x2+1

中哪些是Ω函數，并說明理由；
（Ⅱ）若函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且滿足對一切實數x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，求證：函數f（x）一定是Ω函數；
（Ⅲ）求證：若a＞0，則函數f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所給新定義，依次判斷函數|f₁（x）|≤|x|，|f₂（x）|≤|x|，|f₃（x）|≤|x|是否對一切實數x均成立，若成立，則為Ω函數，從而得到答案；
（Ⅱ）根據y=f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）=0，對一切實數x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，令x₁=x，x₂=0可得結論；
（Ⅲ）令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|，當x≥0時，利用導數的性質得到g（x）在[0，+∞）上為減函數；當x＜0時，利用導數的性質得到g（x）在（-∞，0）為增函數，故g（x）在x=0處取得極大值，同時也為最大值．由此能夠證明函數f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數．

解答：解：（Ⅰ）對于f₁（x）=xsinx，
∵sinx∈[-1，1]，則|sinx|≤1，
∴|x||sinx|≤|x|，即|xsinx|≤|x|，
∴|f₁（x）|≤|x|對一切實數均成立，
故函數f₁（x）=xsinx是Ω函數；
對于f₂（x）=

e-x

ex+1

，當x=0時，f₂（x）=

e0

e0+1

=

1

2

，此時|f₃（0）|＞|0|，
∴|f（x）|≤|x|對一切實數x不均成立，
故函數f₂（x）=

e-x

ex+1

不是Ω函數；
對于f₃（x）=

x2

x2+1

，|f₃（x）|≤|x|對一切實數x均成立，即|

x

x2+1

|≤1對一切實數x均成立，
當x=0時，不等式恒成立，
當x≠0時，y=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

，
∵x+

1

x

≤-2或x+

1

x

≥2，
∴-

1

2

≤

1

x+ 1 x

＜0或0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴|

x

x2+1

|≤

1

2

≤1，
∴|f₃（x）|≤|x|對一切實數x均成立，
故函數f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函數．
綜上，函數f₁（x）=xsinx，f₃（x）=

x2

x2+1

是Ω函數．
（Ⅱ）∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∵對一切實數x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，
∴令x₁=x，x₂=0得|f（x）-f（0）|≤|x-0|，
即|f（x）|≤|x|對一切實數x均成立，
∴函數f（x）一定是Ω函數；
（Ⅲ）證明：由題意可知f（x）的定義域為R，
∵f（x）=ln（x²+a）-lna=ln（

x2

a

+1），a＞0，
∴

x2

a

+1＞1，f（x）＞0，則|f（x）|=f（x），
令g（x）=|f（x）|-|x|=f（x）-|x|
∴當x≥0時，g（x）=f（x）-x，g′（x）=f′（x）-1=

2x

x2+a

-1=

(x-1)2+1-a

x2+a

＜0．
∴g（x）在[0，+∞）上為減函數；
當x＜0時，g（x）=f（x）+x，g′（x）=f′（x）+1=

2x

x2+a

+1=

(x+1)2-1+a

x2+a

＞0，
∴g（x）在（-∞，0）為增函數，
∴g（x）在x=0處取得極大值，同時也為最大值，
∴g（x）≤g（0）=lna-lna=0，
即|f（x）|-|x|≤0在x∈R恒成立，即|f（x）|≤|x|在x∈R恒成立．
∴函數f（x）=ln（x²+a）-lna是Ω函數．

點評：本題新定義問題，對于新定義問題，解題時要抓住所給的定義進行解題，將問題轉化成所學知識的考查．本題考查函數的恒成立問題以及利用導數求閉區間上的最值問題，對于函數的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法進行求解．本題考查了化歸與轉化的數學思想方法，綜合性強，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，難度大．屬于難題．