Question

【題目】如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，，，垂足為E，，將沿EC折起到的位置，如圖2所示，使平面平面ABCE.

（1）連結BE，證明：平面；

（2）在棱上是否存在點G，使得平面，若存在，直接指出點G的位置不必說明理由，并求出此時三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點G為的中點，.

【解析】

（1）通過面面垂線的性質定理，證得平面ABCE，由此證得.利用勾股定理計算證明，從而證得平面.

（2）通過線面平行的判定定理，判斷出點G為的中點.利用換頂點的方法，通過，來計算出三棱錐的體積.

1因為平面平面ABCE，平面平面，平面，所以平面ABCE，

又因為平面ABCE，所以 ，又，滿足，所以，

又，所以平面.

2在棱上存在點G，使得平面，

此時點G為的中點.，

由1知，平面ABCE，所以，

又，所以平面，

所以CE為三棱錐的高，且，

在中，，G為斜邊的中點，

所以，

所以.

故，在棱上存在點G，使得平面，

此時三棱錐的體積為.