Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.

【解析】

（1）先求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出切線的斜率得解；（2）先求出，再對(duì)a分類討論，求出每一種情況下的最小值即得解.

（1）當(dāng)時(shí)，，，

，，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）∵，，∴此函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，

解得與矛盾；

當(dāng)時(shí)，令，得（舍），，

在上，，在上，，

∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，

令，得，符合題意.

當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，

解得與矛盾.

綜上，存在，使函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.