Question

【題目】某企業準備投入適當的廣告費對產品進行促銷，在一年內預計銷售Q（萬件）與廣告費x（萬元）之間的函數關系為Q= （x≥0）．已知生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬元此產品仍需再投入32萬元，若每件銷售價為“平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和．
（1）試將年利潤W（萬元）表示為年廣告費x（萬元）的函數；
（2）當年廣告費投入多少萬元時，企業年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，產品的生產成本為（32Q+3）萬元，

每萬件銷售價為 ，

∴年銷售收入為 = ，

∴年利潤 =

（2）解：令x+1=t（t≥1），則 ．

∵t≥1，∴ ，即W≤42，

當且僅當 ，即t=8時，W有最大值42，此時x=7．

即當年廣告費為7萬元時，企業利潤最大，最大值為42萬元．

【解析】（1）根據生產此產品的年固定投入為3萬元，每生產1萬件此產品仍需后期再投入32萬元，若每件售價為“年平均每件投入的150%”與“年平均每件所占廣告費的50%”之和，可建立函數關系式；（2）利用換元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．