Question

設不等式組

x+y＞0 x-y＞0

表示的平面區域為D、區域D內的動點P到直線x+y=0和直線x-y=0的距離之積為1．記點P的軌跡為曲線C、
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點F（2，0）的直線與曲線C交于A，B兩點．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）動點P（x，y），根據題意可知

|x+y|

2

×

|x-y|

2

=1，整理得|x²-y²|=2．根據P∈D推斷出x+y＞0，x-y＞0，進而可得x²-y²＞0，答案可得．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而可得以線段AB為直徑的圓的圓心Q的坐標，根據以線段AB為直徑的圓與y軸相切，推斷r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

．進而根據雙曲線定義得|AB|=|AF|+|BF|，進而求得x₁+x₂的值，求得線段AB的長．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，平面區域D如圖陰影所示．

設動點P（x，y），則

|x+y|

2

×

|x-y|

2

=1，
即|x²-y²|=2．
∵P∈D、
∴x+y＞0，x-y＞0，即x²-y²＞0．
∴x²-y²=2（x＞0）．
即曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0）．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴以線段AB為直徑的圓的圓心Q（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵以線段AB為直徑的圓與y軸相切，
∴半徑r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

．
即|AB|=x₁+x₂．①
∵曲線C的方程為

x2

2

-

y2

2

=1（x＞0），
∴F（2，0）為其焦點，相應的準線方程為x=1，離心率e=

2

．
根據雙曲線的定義可得，

|AF|

x1-1

=

|BF|

x2-1

=

2

，
∴|AB|=|AF|+|BF|=

2

（x₁-1）+

2

（x₂-1）=

2

（x₁+x₂）-2

2

．②
由①，②可得，x₁+x₂=

2

（x₁+x₂）-2

2

．
由此可得x₁+x₂=4+2

2

．
∴線段AB的長為4+2

2

．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與雙曲線的關系．考查了學生綜合分析問題和運算能力．