Question

設不等式組 

x+y＞0 x-y＜0

表示的平面區域為D．區域D內的動點P到直線x+y=0和直線x-y=0的距離之積為2．記點P的軌跡為曲線C．過點F(2

2

，0)的直線l與曲線C交于A、B兩點．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：由題意可知，設動點為P（x，y），則|x²-y²|=4．由P∈D，知x²-y²＜0．所以曲線C的方程為

y2

4

-

x2

4

=1(y＞0)．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以AB為直徑的圓心Q(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．以AB為直徑的圓L與y軸相切，所以半徑|AB|=x₁+x₂． 設直線AB的方程為y=k（x-2

2

）．代入雙曲線方程

y2

4

-

x2

4

=1（y＞0）得，k²（x-2

2

）²-x²=4，由此能求出直線l的斜率．

解答：解：由題意可知，平面區域D如圖陰影所示．
設動點為P（x，y），
則

|x+y|

2

•

|x-y|

2

=2，
即|x²-y²|=4．（2分）
由P∈D知x+y＞0，x-y＜0，
即x²-y²＜0．
所以y²-x²=4（y＞0），
即曲線C的方程為

y2

4

-

x2

4

=1(y＞0)（4分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
以AB為直徑的圓心Q(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
以AB為直徑的圓L與y軸相切，
所以半徑 r=

1

2

|AB|=

x1+x2

2

，
即|AB|=x₁+x₂． ①（6分）
因為直線AB過點F（2

2

，0），
當AB⊥x軸時，不合題意．（8分）
所以設直線AB的方程為y=k（x-2

2

）．
代入雙曲線方程

y2

4

-

x2

4

=1（y＞0），
得k²（x-2

2

）²-x²=4，
即（k²-1）x²-4

2

k²x+（8k²-4）=0．
因為直線與雙曲線交于A，B兩點，
所以k≠±1．（10分）
所以x₁+x₂=

4 2 k2

k2-1

，x₁x₂=

8k2-4

k2-1

．
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=|x₁+x₂|
=|

4 2 k2

k2-1

|，
化簡得：k⁴+2k²-1=0，（12分）
解得k²=

2

-1（k²=-

2

-1不合題意，舍去）．
由△=（4

2

k²）²-4（k²-1）（8k²-4）=3k²-1＞0，
又由于y＞0，所以-1＜k＜-

3

3

．
所以k=-

2 -1

．（14分）

點評：本題考查直線斜率的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．