Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|.

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式f(x)≥4－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集為[0,2]，(m>0，n>0)，求證：m＋2n≥4.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法討論的取值范圍，去絕對(duì)值解不等式即可.

（2）根據(jù)不等式的解集求出a，再利用基本不等式即可求解.

(1)當(dāng)a＝2時(shí)，不等式為|x－2|＋|x－1|≥4.

當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式化為2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；

當(dāng)1≤x＜2時(shí)，原不等式化為1≥4，無解；

當(dāng)x<1時(shí)，原不等式化為3－2x≥4，

解得x≤－，所以x≤－.

所以原不等式的解集為.

(2)證明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，

而f(x)≤1的解集是[0,2]，

所以，解得a＝1，所以＝1(m>0，n>0)．

所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋，

當(dāng)且僅當(dāng)m＝2n時(shí)，等號(hào)成立