Question

【題目】計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立．

（Ⅰ）求在未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；

（Ⅱ）水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量限制，并有如下關系；

年入流量
發電機最多可運行臺數	1	2	3

若某臺發電機運行，則該臺發電機年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺發電機年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）根據題意先分別計算的概率，再根據二項分布原理計算年、和年年入流量超過的概率即可；（Ⅱ）分別計算安裝臺、臺、臺發電機時水電站利潤的均值，比較它們的大小，可得到應安裝臺發電機.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）臺.

試題解析：（Ⅰ）依題意,,

,由二項分布，在未來年中至少有年流入量超過的概率為：

.

（Ⅱ）記水電站總利潤為（單位：萬元），由于水庫年入流量總大于，所以至少安裝臺.

①安裝臺發電機的情形：

由于水庫處入流量總大于，所以一臺發電機運行的概率為，

對應的年利潤為，，

②安裝臺發電機的情形：

當時，一臺發電機運算，此時，所以

；

當，兩臺發電機運行，此時，

因此，

此時的分布列如下：

.

③ ②安裝臺發電機的情形：

當時，一臺發電機運算，此時，所以

；

當時，兩臺發電機運行，此時，

此時；

當時，三臺發電機運行，此時，

此時，所以的分布列如下：

所以

綜上，欲使水電站年利潤的均值達到最大值，應安裝臺發電機.