Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得成立（其中C為常數(shù)），則稱函數(shù)y=f（x）在D上的約算術(shù)均值為C，則下列函數(shù)在其定義域上的算術(shù)均值可以為2的函數(shù)是

1. A.
   y=x²
2. B.
   y=4sinx
3. C.
   y=lnx
4. D.
   y=2^x

Answer 1

C
分析：本題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₂的方程是否存在唯一解問題，先直接根據(jù)選項建立方程f（x₁）+f（x₂）=4，然后判斷是否存在唯一的解，從而得到正確選項．
解答：由題意可得，均值為2，則=2即f（x₁）+f（x₂）=4，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₂的方程是否存在唯一解問題．
A任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程x₁²+x₂²=4，當(dāng)x₁＞2時，一定無解；
B任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程4sinx₁+4sinx₂=4，即sinx₁+sinx₂=1，當(dāng)sinx₁＜0時，一定無解；
C任意的x₁∈（0，+∞），關(guān)于x₂的方程lnx₁+lnx₂=4，一定有唯一解；
D任意的x₁∈R，關(guān)于x₂的方程+=4，當(dāng)＞4時，一定無解．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的新定義，解決問題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知定義，把題中的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要求考生具備閱讀轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．