Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面ABC，，，且為AC中點(diǎn)。
（I）                   證明：平面ABC；
（II）                 求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；
（III）               在上是否存在一點(diǎn)E，使得平面，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置。

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ），（Ⅲ）E為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823135211717414.gif" style="vertical-align:middle;" />，且O為AC的中點(diǎn)，

所以.                                                                                   ………………1分
又由題意可知，平面平面，交線(xiàn)為，且平面，
所以平面.                                                                      ………………4分
（Ⅱ）如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
由題意可知，又
所以得:
則有：                                     ………………6分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有
，令，得
所以.                                          ………………7分
.                                     ………………9分
因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.                                                                                            ………………10分
（Ⅲ）設(shè)                                            ………………11分
即，得
所以得         ………………12分
令平面，得 ，                                        ………………13分
即得
即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn).                           ………………14分