Question

如圖，已知圓C₁的方程為，橢圓C₂的方程為（a＞b＞0），C₂的離心率為，如果C₁與C₂相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C₁的直徑，求直線AB的方程和橢圓C₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：由得，b²=c²，設橢圓方程為：，令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，A，B均在橢圓C₂上，，兩式相減得：，，再由根的判別式結合題設條件可求出直線AB的方程和橢圓C₂的方程．
解答：由得，
∴a²=2c²，b²=c²，
設橢圓方程為：（2分）
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知得圓心C₁（2，1）為AB中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
又A，B均在橢圓C₂上，
∴，
兩式相減得：
即
∴，
即直線AB的方程為y-1=-（x-2）即x+y-3=0（6分）
將y=-x+3代入得3x²-12x+18-2b²=0（9分）
∴由直線AB與橢圓C₂相交，
∴△=12²-12（18-2b²）=24b²-72＞0即b²＞3，
又（11分）
即解得b²=8，故所求的橢圓方程為（13分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，合理解答，注意公式的合理運用．