Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，A₁A=2，點F是棱BC的中點，點E在棱C₁D₁上，且D₁E=λEC₁（λ為實數）．
（1）求二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）當λ=

1

3

時，求直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）求證：直線EF與直線EA不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，算出向量

D1A

、

D1C

的坐標，利用垂直向量數量積為0的方法建立方程組，算出平面D₁AC的一個法向量

n

=（2，1，2），結合平面DAC的一個法向量為

m

=（0，0，1）最后用空間向量的夾角公式即可算出二面角D₁-AC-D的余弦值；
（2）當λ=

1

3

時，可得E、F的坐標，從而

EF

=(1，3，-2)，進而算出＜

EF

，

n

＞的余弦值，再由＜

EF

，

n

＞為銳角，結合直線與平面所成角的定義，即可算出直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值的大小；
（3）假設EF⊥EA，由

EF

•

EA

=0建立關于λ的等式，化簡可得3λ²-2λ+3=0，由根的判別式得該方程無解，所以原假設不成立，從而得到直線EF不可能與直線EA不可能垂直．

解答：解：（1）以DA、DC、DD₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示．
則A（2，0，0），C（0，4，0），D₁（0，0，2），

D1A

=(2，0，-2)，

D1C

=(0，4，-2)． …（2分）
設平面D₁AC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

•

D1A

=0，

n

•

D1C

=0．
即x=z，z=2y．令y=1，則x=z=2．
∴平面D₁AC的一個法向量

n

=（2，1，2）．…（4分）
又平面DAC的一個法向量為

m

=（0，0，1）．
故cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

1×3

=

2

3

，
即二面角D₁-AC-D的余弦值為

2

3

． …（6分）
（2）當λ=

1

3

時，E（0，1，2），F（1，4，0），

EF

=(1，3，-2)．
所以cos ＜

EF

，

n

＞=

EF • n

| EF |•| n |

=

1

14 ×3

=

14

42

．                 …（9分）
因為 cos＜

EF

，

n

＞＞0，所以＜

EF

，

n

＞為銳角，
從而直線EF與平面D₁AC所成角的正弦值的大小為

14

42

．         …（10分）
（3）假設EF⊥EA，則

EF

•

EA

=0．
∵E(0，

4λ

1+λ

，2)，F(1，4，0)，
∴

EA

=(2，-

4λ

1+λ

，-2)，

EF

=(1，4-

4λ

1+λ

，-2)．               …（12分）
∴2-

4λ

1+λ

(4-

4λ

1+λ

)+4=0．化簡得3λ²-2λ+3=0．
該方程無解，所以假設不成立，即直線EF不可能與直線EA不可能垂直．…（14分）

點評：本題給出長方體模型，求二面角的余弦值和線面角的正弦值，并探索線線垂直的問題．著重考查了長方體的性質、利用空間向量研究線面角與面面角等知識，屬于中檔題．