Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an+2

an+1

（I）求證：1＜a_n＜2（n∈N^*，n≥2），
（Ⅱ）令b_n=|a_n-

2

|
（1）求證：{b_n}是遞減數(shù)列；
（2）設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n＜

2(2 2 -1)

7

．

Answer 1

分析：（I）先由遞推式求出a₂，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（Ⅱ）（1）通過作商證明

bn+1

bn

＜1；（2）由（1）可得

bn+1

bn

＜

2 -1

2

，即bn+1＜

2 -1

2

bn，利用迭代法可得bn＜

2 -1

2

bn-1＜(

2 -1

2

)2bn-2＜…＜(

2 -1

2

)n-1b1=（

2

-1）(

2 -1

2

)n-1，
利用該結(jié)論及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可證明結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）a₁=1，a2=

1+2

1+1

=

3

2

，
（1）n=2時(shí)，1＜a₂=

3

2

＜2，∴n=2時(shí)不等式成立；
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*，k≥2）時(shí)不等式成立，即1＜a_k＜2，
ak+1=1+

1

ak+1

，
∴

4

3

＜ak+1＜

3

2

，
∴n=k+1時(shí)不等式成立，
由（1）（2）可知對(duì)n∈N^*，n≥2都有1＜a_n＜2；
（Ⅱ）（1）

bn+1

bn

=

|an+1- 2 |

|an- 2 |

=

| an+2 an+1 - 2 |

|an- 2 |

=

1

|an+1|

•

|an+2- 2 an- 2 |

|an- 2 |

=

1

|an+1|

•

|an(1- 2 )+ 2 ( 2 -1)|

|an- 2 |

=

| 2 -1|

|an+1|

，
又

| 2 -1|

|an+1|

＜

2 -1

2

＜1，
∴{b_n}是遞減數(shù)列；
（2）由（1）知：

bn+1

bn

＜

2 -1

2

，∴bn+1＜

2 -1

2

bn，
則bn＜

2 -1

2

bn-1＜(

2 -1

2

)2bn-2＜…＜(

2 -1

2

)n-1b1=（

2

-1）(

2 -1

2

)n-1，
所以S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜（

2

-1）[1+

2 -1

2

+(

2 -1

2

)2+…+(

2 -1

2

)n-1]
=(

2

-1)

1-( 2 -1 2 )n

1- 2 -1 2

=

2( 2 -1)(3+ 2 )

7

[1-(

2 -1

2

)n]＜

2(2 2 -1)

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列的函數(shù)特性、等比數(shù)列前n和公式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)，考查學(xué)生的推理證明能力．