Question

（2011•天津模擬）設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c為實數，且c≠0．
（1）求證：a≠1時數列{a_n-1}是等比數列，并求a_n；
（2）設a=

1

2

c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設a=

3

4

，c=-

1

4

，cn=

3+an

2-an

(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設數列{d_n}的前n項和為T_n，求證：對任意正整數n都有Tn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=ca_n+1-c可知 a_n+1-1=c（a_n-1）故a≠1時數列{a_n-1}是首項為a-1公比為c的等比數列故可求出即  a_n=（a-1）c^n-1+1
（2）由（1）知bn=n(

1

2

)n則由通項公式的結構知應利用錯位相減法求前n項和S_n
（3）由（1）知 cn=

3+an

2-an

= 4+ 

5

(-4)n-1

故可得d_n的表達式為dn=c2n-c2n-1=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

而要證明的結論為對任意正整數n都有Tn＜

5

3

故d_n的表達式需要變形．而（16ⁿ-1）（16ⁿ+4）=（16ⁿ）²-3×16ⁿ-4故對所有的n都有（16ⁿ-1）（16ⁿ+4）=（16ⁿ）²-3×16ⁿ-4＞（16ⁿ）²故dn＜

25

16n

則可求證出Tn＜25×(

1

16

+

1

162

+…+

1

16n

)=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

解答：解：（1）∵a_n+1=ca_n+1-c
∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1時數列{a_n-1}是首項為a-1公比為c的等比數列
∴a_n-1=（a-1）c^n-1即a_n=（a-1）c^n-1+1
（2）由（1）得當a=

1

2

，c=

1

2

時bn=n(

1

2

)n
∴sn=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n
∴

1

2

sn=(

1

2

)2+…+n(

1

2

)2
        兩式作差得sn=

1-( 1 2 )2

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-

n+2

2n

（3）∵cn=

3+an

2-an

= 4+ 

5

(-4)n-1

∴dn=c2n-c2n-1=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

∴Tn＜25×(

1

16

+

1

162

+…+

1

16n

)=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

點評：此題主要考查了數列與不等式的綜合．第一問需要將遞推關系式a_n+1=ca_n+1-c變形為 a_n+1-1=c（a_n-1）這是根據第一問的要求變形的這也是平時做題的一個常用技巧“由果索因”．第二問可以在第一問的基礎上求出數列{b_n}的通項公式在觀察其特征后采用錯位相減法求前n項和因此第一問的正確求解就顯得十分重要了．第三問需要對數列{d_n}的通項公式進行放縮，這一步技巧性較大需要平時的大量積累！