Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E為PC的中點，且DE=EC．

（1）求證：PA⊥面ABCD；
（2）設PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈（ ， ），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E為PC的中點，DE=EC=PE

∴PD⊥DC，

∵CD⊥AD，PD∩AD=D，

∴CD⊥平面PAD，

∵PA平面PAD，

∴CD⊥PA，

∵PA⊥AD，AD∩CD=D，

∴PA⊥面ABCD；

（2）解：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標系，

B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），

平面BCD法向量 =（0，0，1），平面EBD法向量

，可得

【解析】（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PA，利用PA⊥AD，AD∩CD=D，可以證明PA⊥面ABCD；（2）以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，結合平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈（ ， ），即可求a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的判定，需要了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能得出正確答案．