Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把這個長方體截成兩個幾何體：
（Ⅰ）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V₁、V₂，求V₁與V₂的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

Answer 1

（ I）設BC=a，則AB=2a，BB₁=a，
所以VABCD-A1B1C1D1=2a×a×a=2a3---------（2分）
因為V2=

1

3

S△CQR×PC=

1

3

×

1

2

×2a×a×a=

1

3

a3--------------------------（4分）V1=VABCD-A1B1C1D1-V2=2a3-

1

3

a3=

5

3

a3----------------------（5分）
所以

V1

V2

=

5 3 a3

1 3 a3

=5------------（6分）
（II）由點C作CH⊥QR于點H，連結PH，
因為PC⊥面CQR，QR?面CQR，
所以PC⊥QR．
因為PC∩CH=C，
所以QR⊥面PCH，
又因為PH?面PCH，
所以QR⊥PH，
所以∠PHC是二面角P-QR-C的平面角--------------------（9分）
而CH•QR=CQ•CR，CH×

5

a=a×2a，CH=

2a

5

所以tan∠PHC=

a

2a 5

=

5

2

----------------------------------------------（12分）