Question

已知復數z滿足|z-2|=2，z+

4

z

∈R，求z．

Answer 1

分析：設z=x+yi，x，y∈R，根據復數及模的運算，建立方程組，求出x，y即可求出z．

解答：解：設z=x+yi，x，y∈R，則
z+

4

z

=z+

4 . z

z . z

=x+yi+

4(x-yi)

x2+y2

=x+

4x

x2+y2

+(y-

4y

x2+y2

)i，
∵z+

4

z

∈R，∴y-

4y

x2+y2

=0，又|z-2|=2，∴（x-2）²+y²=4，
聯立解得，當y=0時，x=4或x=0 （舍去x=0，因此時z=0），
當y≠0時，

x=1 y=± 3

，z=1±

3

，
∴綜上所得 z₁=4，z₂=1+

3

i，z₃=1-

3

i．

點評：本題考查復數及模的運算，復數的分類．考查計算，分類討論能力．