Question

如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.

證明：
若,求三棱柱的高.

Answer 1

（1）詳見解析;（2）三棱柱的高為.

試題分析：（1）根據(jù)題意欲證明線線垂直通常可轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，又由題中四邊形是菱形，故可想到連結(jié)，則O為與的交點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面為菱形，對(duì)角線相互垂直;又平面，所以，根據(jù)線面垂直的判定定理可得：平面ABO，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根據(jù)題中已知條件可轉(zhuǎn)化為先求點(diǎn)O到平面ABC的距離，即：作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H，則由線面垂直的判定定理可得平面ABC，再根據(jù)三角形面積相等： ，可求出的長度，最后由三棱柱的高為此距離的兩倍即可確定出高．
試題解析：（1）連結(jié)，則O為與的交點(diǎn).
因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以.
又平面，所以，
故平面ABO.
由于平面ABO，故.

（2）作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H.
由于，，故平面AOD，所以，
又，所以平面ABC.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054046561708.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為等邊三角形，又，可得.
由于，所以,
由，且，得，
又O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面ABC的距離為.
故三棱柱的高為.