Question

【題目】函數 ，其中 ．

（1）試討論函數 的單調性；

（2）已知當 （其中 是自然對數的底數）時，在 上至少存在一點 ，使 成立，求 的取值范圍；

（3）求證：當 時，對任意 ，，有 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）求導數后根據的取值范圍判斷出導函數在上的符號可得函數的單調性．（2）將問題轉化為“當時，”處理，由（1）可得，由，即為所求的范圍．（3）當時，．令，可得在上為減函數．故對任意，都有成立，由此可得成立．

詳解：（1）易知的定義域為．

由題意得．

令 得 或 ．

∵ ，

∴ ．

①當時，

則當單調遞增，

當單調遞減，

當單調遞增．

②當時，

則當單調遞增；

當單調遞減；

當單調遞增．

③當時，則當單調遞增．

綜上，當時，在和上單調遞減；

當時，在和上單調遞減；

當時，在上單調遞增．

（2）在上至少存在一點，使成立，

等價于當時，．

∵ ，

∴ ．

由（1）知，當時，單調遞增；當時，單調遞減．

∴ 當時，．

由 ．

經檢驗知上式滿足．

∴所以 的取值范圍是．

（3）當時，函數．

令，

則．

∴當時，，為減函數．

∴ 對任意，都有成立，

即．

即．

又，

∴ ．