Question

【題目】設函數f(x)＝ex－ax－1.

(1)當a>0時，設函數f(x)的最小值為g(a)，求證：g(a)≤0；

(2)求證：對任意的正整數n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）在a>0的情況下討論函數的單調性，求出函數的小值g(a)＝a－alna－1，再對這個函數求導，研究這個函數的最大值g(1)＝0，故g(a)≤0。（2）結合第一問得到x>0時，總有ex>x＋1，兩邊變形得到(x＋1)n＋1<(ex)n＋1＝e(n＋1)x.再利用賦值法得到結果即可。

解析：

(1)由a>0及f′(x)＝ex－a可得，函數f(x)在(－∞，lna)上單調遞減，

在(lna，＋∞)上單調遞增，

故函數f(x)的最小值為g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，則g′(a)＝－lna，

故當a∈(0,1)時，g′(a)>0；

當a∈(1，＋∞)時，g′(a)<0，

從而可知g(a)在(0,1)上單調遞增，

在(1，＋∞)上單調遞減，且g(1)＝0，故g(a)≤0.

(2)由(1)可知，當a＝1時，總有f(x)＝ex－x－1≥0，

當且僅當x＝0時等號成立，即當x>0時，總有ex>x＋1.

于是，可得(x＋1)n＋1<(ex)n＋1＝e(n＋1)x.

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－n；

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－(n－1)；

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－(n－2)；

…

令x＋1＝，即x＝－，可得n＋1<e－1.

對以上各式求和可得：

n＋1＋n＋1＋n＋1＋…＋n＋1<e－n＋e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－1

＝＝＝<<1.

故對任意的正整數n，都有1n＋1＋2n＋1＋3n＋1＋…＋nn＋1<(n＋1)n＋1.