Question

二項式（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ的展開式中各項系數和是256，則展開式中x⁵的系數是

 

．（用數字作答）

Answer 1

考點：二項式定理

專題：二項式定理

分析：本題對于二項式系數的和可以通過賦值令x=1來求解，而各項二項式系數之和由二項式系數公式可知為2ⁿ，最后通過比值關系為64即可求出n的值是6．利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數為1，求出r，將r的值代入通項求出展開式的x的系數

解答： 解：令（x 

3

2

+x 

1

3

）ⁿ中x為1得各項系數和為2ⁿ，
展開式的各項二項式系數和為2ⁿ
∵各項系數的和與各項二項式系數的和之比為64
∴2ⁿ=256
解得n=8
展開式的通項為 T_r+1=C₈^rx12-

7r

6

，
12-

7r

6

=5得r=6，
展開式中x⁵的系數是C₈6=28．
故答案為：28．

點評：本題考查求展開式的各項系數和的重要方法是賦值法、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，解答關鍵是利用展開式的各項的二項式系數的和為2ⁿ