Question

將邊長為的正方形和等腰直角三角形按圖拼為新的幾何圖形,中,,連結,若,為中點

（Ⅰ)求與所成角的大小;
（Ⅱ)若為中點，證明：平面；
（Ⅲ)證明：平面平面

Answer 1

（Ⅰ) ；（Ⅱ)參考解析； （Ⅲ)參考解析.

試題分析：（Ⅰ) 通過已知條件說明直線AE,AD,AB兩兩垂直，從而建立空間直角坐標系，寫出相應的點的坐標并寫出相應的向量.異面直線所成角的問題是轉化為兩向量所成角的問題.通過計算向量所成角的余弦值的絕對值得到對應的異面直線所成角的余弦值，從而求出異面直線所成的角.（Ⅱ)線面所成的角本題較簡單是通過直線平行于平面內的一條直線.直線與平面平行還有一種常用的方法就是，該直線與平面的一條法向量垂直，這種方法常用在平面內很難找出一條直線與已知直線平行.（Ⅲ)本小題的平面與平面垂直的判定方法是通過證明AM垂直于平面CBE.又因為直線AM在平面CAM內，所得到的兩平面垂直.這類題型還有一種方法就是求出兩平面的法向量，證明它們的數量積為零.本題較容易，當然本題不建立坐標系同樣好做.立幾知識盡量建立坐標系完成，另外線面的關系可以在解題中幫助我們思路及計算更加清晰.
試題解析：（Ⅰ)解：∵,,
∴,又


∴面
為等腰直角三角形且
∴
兩兩垂直
分別以所在直線為軸，
建立空間直角坐標系如圖：
則，

，
∴
∴
∴與所成角的大小為      4分
（Ⅱ) ∵，為中點
∴，而
∴

∴與共線，
面，面
∴平面       8分
Ⅲ)面
面
∴

∴
又為等腰直角三角形且為斜邊中點
∴

∴面
又面
∴平面平面     12分