Question

已知如圖：平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）記CD=x，V（x）表示四棱錐F-ABCD體積，求V（x）的表達式；
（3）當V（x）取得最大值時，求平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先根據ADEF是正方形得到G是AE的中點；再結合GH∥AB即可得到GH∥CD進而得到結論；
（2）先根據面面垂直的性質定理得到FA⊥平面ABCD；再求出四棱錐的底面積以及高，最后直接代入體積計算公式即可；
（3）先根據基本不等式求出V（x）取得最大值時對應的x；
解法1：在平面DBC內過點D作DM⊥BC于M，連接EM；通過分析得到∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角；求出其正弦值即可；
解法2：以點D為坐標原定，DC所在的直線為x軸建立空間直角，求出個點對應坐標以及兩個平面的法向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式，得到余弦值，進而得到其正弦值．

解答：（1）：連接EA，∵ADEF是正方形
∴G是AE的中點-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分） 
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD  且FA⊥AD，
∴FA⊥平面ABCD．-----（6分）
∵BD⊥CD，BC=2，CD=x
∴FA=2，BD=

4-x2

（0＜x＜2）
∴S_{平行四邊形ABCD}=CD•BD=x

4-x2

∴V(x)=

1

3

S平行四邊形ABCD•FA=

2

3

x

4-x2

（0＜x＜2）--（8分）
（3）要使V（x）取得最大值，只須x

4-x2

=

x2(4-x2)

（0＜x＜2）取得最大值，
∵x2(4-x2)≤(

x2+4-x2

2

)2=4，當且僅當x²=4-x²，即x=

2

時 V（x）取得最大值---（10分）
解法1：在平面DBC內過點D作DM⊥BC于M，連接EM
∵BC⊥ED
∴BC⊥平面EMD
∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵當V（x）取得最大值時，CD=

2

，DB=

2

∴DM=

1

2

BC=1，EM=

ED2+DM2

=

5

∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為

2 5

5

．-----------------（14分）
解法2：以點D為坐標原定，DC所在的直線為x軸建立空間直角
坐標系如圖示，則D（0，0，0），C(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，E(0，0，2)
∴

DE

=(0，0，

2

)，

EC

=(

2

，0，-2)，

EB

=(0，

2

，-2)-------（12分）
設平面ECF與平面ABCD所成的二面角為θ，
平面ECF的法向量

n

=(a，b，c)
由

n

⊥

EC

，

n

⊥

EB

，得

2

a-2c=0，

2

b-2c=0
令c=1得

n

=(

2

，

2

，1)
又∵平面ABCD的法向量為

DE

∴cosθ=

DE • n

|DE |• |n|

=

2

2 • 5

=

5

5

∴sinθ=

2 5

5

．-------（14分）

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識．解決第二問得關鍵在于先根據面面垂直的性質定理得到FA⊥平面ABCD．