如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為
時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．
(1)見解析；(2)
.
解析試題分析：(1)先利用直線與平面垂直的性質定理，得到
和
，因為
，所以利用直線與平面垂直的判定定理可知，
；(2)先利用直線和平面垂直的性質定理得到
，那么
為正方形，得到邊的值
，然后根據已知的垂直關系，找到線面角，根據線面角
的正切值求出
，根據此四棱錐的性質可知，所求的外接球的直徑即是線段
，由已求得的量結合勾股定理求得的值，再由球的表面積公式：
，求此四棱錐的外接球的表面積.
試題解析：(1)證明 ∵
，
，∴．2分
同理由
，可證得． 4分
又，∴． 6分
(2)由(1)知，又
， ∴．
故矩形為正方形，∴．所以
8分
因為，所以與平面所成角為，
因為與平面所成角的正切值為，即
，
所以
， 10分
又
，所以
，
所以四棱錐
的外接球表面積為
．12分
考點：1.直線與平面垂直的判定定理；2.直線與平面垂直的性質定理；3.直線和平面所成的角(線面角)；4.球的體積和表面積；5.解三角形；6.勾股定理
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長AB=1.
（Ⅰ）求異面直線A1B與 B1C所成角的大小；（Ⅱ）求證：平面A1BD∥平面B1CD1．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝
，AD＝1.
（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）求二面角A－PD－C的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，其中AB＝
， BD＝BC＝1， AA1＝2，E為DC的中點，F是棱DD1上的動點．
(1)求異面直線AD1與BE所成角的正切值；
(2)當DF為何值時，EF與BC1所成的角為90°？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，底面
為直角梯形，
∥
，
，平面
⊥底面，
為的中點，
是棱
上的點，
，
，
．
（Ⅰ）求證：平面
⊥平面；
（Ⅱ）若
為棱
的中點，求異面直線
與
所成角的余弦值.
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中，側面
，
均為正方形，∠
,點
是棱
的中點.
⊥平面
；
平面
；
的余弦值.
中，
,
，
,平面
平面
是矩形,
,點
在線段EF上.
與
所成的角；
的余弦值.
，
，
，平面
⊥平面
，
是線段
上一點，
，
．
⊥平面
；
，求直線
與平面
所成角的正弦值．
中，底面
是正方形，側面
是正三角形，平面
底面
為線段VC的中點,求證：
平面
；
的體積．