Question

【題目】若存在常數(shù) k（k∈N * , k≥2）、d、t（ d , t∈R），使得無(wú)窮數(shù)列 {a n }滿足a n +1，則稱數(shù)列{an }為“段差比數(shù)列”，其中常數(shù) k、d、t 分別叫做段長(zhǎng)、段差、段比．設(shè)數(shù)列 {bn }為“段差比數(shù)列”．

（1）已知 {bn }的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t ．若 {bn }是等比數(shù)列，求 d 、 t 的值；

（2）已知 {bn }的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段差、段比分別為1、3 、3 、1，其前 3n 項(xiàng)和為 S3n ．若不等式 S3n≤ λ 3n1對(duì) n ∈ N *恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍；

（3）是否存在首項(xiàng)為 b，段差為 d（d ≠ 0 ）的“段差比數(shù)列” {bn }，對(duì)任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ，若存在， 寫(xiě)出所有滿足條件的 {bn }的段長(zhǎng) k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t )；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或 （2） （3） ，，，

【解析】

（1）的前4項(xiàng)依次為1，，，，先求出，再代入驗(yàn)證，可得結(jié)論；

（2）由的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差，

，

是等差數(shù)列，又，即可求，從而求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）取2，3，4時(shí)存在，有序數(shù)組可以是，，，．

解：（1）的前4項(xiàng)依次為1，，，，

由前三項(xiàng)成等比數(shù)列得，

，，

那么第2，3，4項(xiàng)依次為，，，，．

時(shí)，，，滿足題意；

時(shí)，，，滿足題意；

（2）的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、1、3，

，

是以為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列，

又，

，

，，

設(shè)，則，

又，

當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，

，，

，得，．

（3）取2，3，4時(shí)存在，有序數(shù)組可以是，，，．