Question

若正四面體的四個頂點都在一個球面上，且正四面體的高為4，則該球的半徑為 ________，體積為 ________．

Answer 1

3    36π
分析：畫出幾何圖形，設出球的半徑，通過正四面體的高，求出球的半徑，然后求出球的體積．
解答：解：正四面體內接于球，則相應的一個正方體內接于球
設正方體為ABCD-A₁B₁C₁D₁則正四面體為ACB₁D₁
設球半徑為R，則AC=2R
設底面ACB₁中心為O則AO=2R
OD₁=2R 即R=4
解得R=3
V=R³=36π
故答案為：3；36π．
點評：本題考查球的體積，正四面體與正方體的關系，在幾何解題中，往往相互聯系，本題中采用轉化思想，把正四面體的高，棱長與正方體的棱長，外接球的直徑相結合，注意挖掘題設中的隱含條件．是解題成功的關鍵．