Question

若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且正四面體的高為4，則該球的半徑為

 

，體積為

 

．

Answer 1

分析：畫出幾何圖形，設(shè)出球的半徑，通過正四面體的高，求出球的半徑，然后求出球的體積．

解答：解：正四面體內(nèi)接于球，則相應(yīng)的一個(gè)正方體內(nèi)接于球
設(shè)正方體為ABCD-A₁B₁C₁D₁則正四面體為ACB₁D₁
設(shè)球半徑為R，則AC=2R

6

3

設(shè)底面ACB₁中心為O則AO=2R

2

3

OD₁=2R

2

3

  即R

4

3

=4
解得R=3
V=R³

4π

3

=36π
故答案為：3；36π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積，正四面體與正方體的關(guān)系，在幾何解題中，往往相互聯(lián)系，本題中采用轉(zhuǎn)化思想，把正四面體的高，棱長(zhǎng)與正方體的棱長(zhǎng)，外接球的直徑相結(jié)合，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．是解題成功的關(guān)鍵．