Question

【題目】如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，，.

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)若和梯形的面積都等于，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結，可證明四邊形為平行四邊形，得，由等腰三角形的性質得，可得，由面面垂直的性質可得平面，從而可得結果；（Ⅱ）由三棱臺的底面是正三角形，且，可得，由此，.根據面積相等求得棱錐的高，利用棱錐的體積公式可得結果.

（Ⅰ）取的中點為，連結.

由是三棱臺得，平面平面，∴.

∵，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵，為的中點，

∴，∴.

∵平面平面，且交線為，平面，

∴平面，而平面，

∴.

（Ⅱ）∵三棱臺的底面是正三角形，且，

∴，∴，

∴.

由（Ⅰ）知，平面.

∵正的面積等于，∴，.

∵直角梯形的面積等于，

∴，∴，

∴.