Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別為，若，點關于直線的對稱點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程與離心率；

（2）過點做直線與橢圓相交于兩個不同的點；若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據，得到，得到點關于直線的對稱點，代入橢圓方程，求出，再得到，從而得到橢圓的標準方程和離心率；

（2）當直線斜率不存在時，得到，直線斜率存在時，設為，與橢圓聯立，得到的范圍和，，從而表示出，得到其范圍，再得到的取值范圍.

（1）因為，故，故橢圓，

點關于直線的對稱點為，

將代入橢圓中，得

解得，

所以，

所以橢圓的方程為，離心率；

（2）當直線的斜率不存在時，，所以．

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立，消去整理得，

由，可得，

，

所以

，

所以，

因為恒成立，

所以，

即實數的取值范圍為．