Question

已知點Q（x，y）位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（1）求動點Q（x，y）的坐標之間滿足的關系式，并化簡且指出橫坐標x的范圍；
（2）設（1）中的關系式表示的曲線為C，若直線l過點M（1，0）且交曲線C于不同的兩點A、B，
    ①求直線l的斜率的取值范圍；
    ②若點P滿足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)，且

EP

.

AB

=0，其中點E的坐標為（x₀，0）試求x₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出點的坐標，利用條件建立方程，化簡可得結論；
（2））①由題意可直線l的斜率k存在且不為0，故可設方程為y=k（x-1），與曲線方程聯立，根據x的范圍，建立不等式，從而可得直線l的斜率的取值范圍；
②確定點P為線段AB的中點，利用

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，求出x₀的表達式，即可求x₀的取值范圍．

解答：解：（1）設點Q（x，y）（x＞-3），由題意得x+3+

(x+1)2+y2

=4，-------------（2分）
化簡得y²=-4x（x∈（-3，0]）-----------------------------------------------（6分）
（2）①由題意可直線l的斜率k存在且不為0，故可設方程為y=k（x-1），
由

y2=-4x y=k(x-1)

得，k²x²+（4-2k²）x+k²=0，x∈（-3，0]，
由△＞0，得k²＜1，---------------------------------（8分）
由x∈（-3，0]，令f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，得

f(-3)＞0 f(0)≥0 -3＜ k2-2 k2 ≤0

，即k2＞

3

4

，
故

3

4

＜k2＜1-------------------------------------------（12分）
②由

FP

=

1

2

(

FA

+

FB

)可知，點P為線段AB的中點，∴P(

k2-2

k2

，-

2

k

)．
由

EP

•

AB

=0可知，EP⊥AB，
∴

2 k

x0- k2-2 k2

•k=-1，整理得，x0=-

2

k2

-1-------------------------（14分）
∵

3

4

＜k2＜1-，∴x₀的取值范圍是(-

11

3

，-3)----------------------------------------（16分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．