Question

已知橢圓內有一點P（2，1），過點P作直線交橢圓于A、B兩點．
（1）若弦AB恰好被點P平分，求直線AB的方程；
（2）當原點O到直線AB的距離取最大值時，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“點差法”求得直線的斜率即可得到直線的方程；
（2）當原點O到直線AB的距離取最大值時，滿足OP⊥AB，求出此時直線AB的方程，再利用點到直線的距離公式及弦長公式即可．
解答：解：（1）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的斜率為k，
由A、B在橢圓上，得
又∵P（2，1）是AB的中點，∴．
由①-②得 ，
∴k==-．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．當原點O到直線AB的距離取最大值時 滿足：OP⊥AB．
∵k_OP=，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
聯立方程組 得 40x²-180x+189=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ，
∴|AB|==．
∴S_△AOB=|OP||AB|=．
點評：會應用“點差法”解決有關中點弦的問題；知道：當原點O到直線AB的距離取最大值時滿足OP⊥AB，及熟練掌握點到直線的距離公式、弦長公式是解題的關鍵．