Question

已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）求該橢圓的離心率．
（2）在橢圓上求一點(diǎn)M，使得|MP|+2|MF|的值最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到a²、b²的值，再由求出c的值，再求出離心率；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，利用橢圓的第二定義，把|MF|轉(zhuǎn)化到右準(zhǔn)線的距離，利用“兩點(diǎn)間的距離最短”和條件，求出最小值以及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）依題設(shè)
所以，離心率
（2）如圖：過M點(diǎn)作MQ垂直于橢圓的右準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)Q，
由橢圓的第二定義和（1）可知：
，所以，
故|MP|+2|MF|=|MP|+|MQ|，
所以當(dāng)P、M、Q三點(diǎn)共線時(shí)，由P（1，-1）得，
所求的值最小為|PQ|=，
把y=-1代入橢圓方程，解得x=或x=-（舍去），
此時(shí)，M．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，要求會(huì)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a、b、c、e的值，對(duì)于求距離的最值，一般利用第二定義把“橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離”進(jìn)行轉(zhuǎn)化．