Question

對于下列命題：
①

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影為

1

5

；
②若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則

a

∥

b

；
③在△ABC中，A＞B?sinA＞sinB；
④若數列{a_n}{b_n}是等比數列，則數列{a_n+b_n}也是等比數列；
⑤在△ABC中，若tanAtanB＞1，則△ABC一定是銳角三角形．
以上正確的命題的序號是

①②③⑤

．

Answer 1

分析：①利用向量投影的定義求值．②利用向量的數量積和向量共線的條件判斷．③利用正弦定理進行判斷．④利用等比數列的心中判斷．⑤利用兩角和的正切公式或三角函數的性質判斷．

解答：解：①根據向量投影的概念可知，

a

=（-1，1）在

b

=（3，4）方向上的投影

a ? b

| b |

=

-3+4

32+42

=

1

5

，所以①正確．
②若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，當

a

，

b

有一個為零向量時，滿足

a

∥

b

，當

a

，

b

都不是零向量時，得|cos＜

a

，

b

＞|=1，所以＜

a

，

b

＞=0或π，
所以滿足

a

∥

b

，所以②正確．
③在三角形中，根據正弦定理得A＞B?a＞b?sinA＞sinB，所以③正確．
④若數列{a_n}{b_n}是等比數列，不妨設a_n=1，b_n=-1，但a_n+b_n=1-1=0，所以此時數列{a_n+b_n}不可能是等比數列，所以④錯誤．
⑤由tanAtanB＞1，得tanA＞0，tanB＞0，所以A，B都是銳角．又tan?(A+B)=

tan?A+tan?B

1-tan?A?tan?B

=-tan?C＜0，所以tanC＞0，即C也為銳角，即△ABC一定是銳角三角形，所以⑤正確．
故答案為：①②③⑤．

點評：本題主要考查了與向量和三角函數有關的命題的真假判斷，綜合性較強，涉及的知識點較多．