Question

已知函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常數，且ω＞0）的最小正周期為2，且當x=

1

3

時，f（x）取得最大值2．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x+

1

6

）的單調遞增區間，并指出該函數的圖象可以由函數y=2sinx，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到？
（3）在閉區間[

21

4

，

23

4

]上是否存在f（x）的對稱軸？如果存在，求出其對稱軸方程；如果不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用兩角和的正弦公式將函數化為y=Asin（ω+φ）的形式，再利用周期公式得ω的值，最后將點（

1

3

，2）代入原函數即可解得A、B的值
（2）先求得函數f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)，再將πx+

π

3

看做整體代入正弦函數的單調增區間，即可得此函數的單調增區間，再利用函數圖象平移和伸縮變換理論寫出變換過程即可
（3）因為f(x)=2sin(πx+

π

6

)，先求πx+

π

6

的范圍，與正弦函數圖象的對稱軸對照即可得此函數的對稱軸

解答：解：（1）∵函數f（x）=Asinωx+Bcosωx（其中A、B、ω是非零常數，且ω＞0）
∴f(x)=

A2+B2

sin(ωx+?)
而f（x）的最小正周期為2，，∴

2π

ω

=2，即ω=π
又當x=

1

3

時，f（x）取得最大值2，
∴

A2+B2=4 Asin π 3 +Bcos π 3 =2

而A、B非零，由此解得A=

3

，B=1
∴f(x)=

3

sinπx+cosπx，即f(x)=2sin(πx+

π

6

)
（2）由（1）知：f(x)=2sin(πx+

π

6

)
∴f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤πx+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z) 
得：2k-

5

6

≤x≤2k+

1

6

(k∈Z)
∴f(x+

1

6

)的單調遞增區間為[2k-

5

6

，2k+

1

6

](k∈Z)
f(x+

1

6

)=2sin(πx+

π

3

)的圖象可由y=2sinx，x∈R的圖象先向左平移

π

3

個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

1

π

倍而縱坐標不變得到．
（3）∵f(x)=2sin(πx+

π

6

)
由x∈[

21

4

，

23

4

]，有πx+

π

6

∈[

65π

12

，

71π

12

]
當πx+

π

6

=

11π

2

，即x=

16

3

時，f（x）取得最大值，
∴其對稱軸方程為x=

16

3

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，三角變換公式的運用，函數圖象的平移和伸縮變換，整體代入的思想方法