Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間內有兩個極值點、，求實數的取值范圍；

（3）在（1）的基礎上，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單增區間為，單減區間為；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將代入函數的解析式得出，然后利用導數可求出函數的單調增區間和減區間；

（2）對函數求導得出，問題轉化為函數在區間內有兩個函數，等價于直線與函數在區間上有兩個交點，利用數形結合思想可求出實數的取值范圍；

（3）由題意得出，將兩個等式相加得，利用分析法得出要證的不等式等價于，再將兩等式相減得出，并證明出不等式，從而可得出，從而得出，即可證明所證不等式成立.

（1）時，，則，

由，得；，得.

因此，函數的單增區間為，單減區間為；

（2），其中，

由題意可知，、是函數在區間內的兩個零點．

由得，結合（1），則問題也等價于在區間有兩個零點，

從而，可轉化為直線與的圖象在上有兩個交點，

由（1）知，函數在上單減，在上單增，

而當時，，，，

如下圖所示：

由圖象可知，當時，直線與函數在區間上的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是；

（3）由（2）可知，、為在區間內的兩個根，

且，其中是函數的極小值點，.

由，可得

故所證.

下面證明出，即證.

設，即證，即證.

構造函數，其中，則，

所以，函數在區間上單調遞增，當時，.

所以，當時，，所以，.

將等式兩式相減得，.

，因此，.

所以，.