Question

如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，
（1）點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A'．求證：A'D⊥EF
（2）當(dāng)BE=BF=

1

4

BC時(shí)，求三棱錐A'-EFD的體積．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．結(jié)合EF?平面A'EF，得A'D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF為斜邊的直角三角形，而A'D是三棱錐D-A'EF的高線，可以算出三棱錐D-A'EF的體積，即為三棱錐A'-DEF的體積．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，
∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．
∴A'D⊥平面A'EF．
又∵EF?平面A'EF，
∴A'D⊥EF．
（2）由四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形
故折疊后A′D=2，A′E=A′F=

3

2

，EF=

2

2

則cos∠EA′F=

( 3 2 )2+( 3 2 )2-12

2× 3 2 × 3 2

=

8

9

則sin∠EA′F=

17

9

故△EA′F的面積S_△EA′F=

1

2

•A′E•A′F•sin∠EA′F=

17

8

由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱錐A'-EFD的體積V=

1

3

×

17

8

×2=

17

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題以正方形的翻折為載體，證明兩直線異面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查空間垂直關(guān)系的證明和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．