Question

如圖放置的邊長為2的正方形PABC沿x軸滾動．設頂點P（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數關系是y=f（x），則f（x）的最小正周期為

 

；  y=f（x）在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為

 

．
（說明：“正方形PABC 沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．）

Answer 1

分析：正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動．沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．類似地，正方形PABC可以沿x軸負方向滾動．

解答：解：從某一個頂點（比如A）落在x軸上的時候開始計算，到下一次A點落在x軸上，
這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長2，因此該函數的周期為8．
下面考察P點的運動軌跡，不妨考察正方形向右滾動，
P點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動

1

4

個圓，該圓半徑為2，
然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BP為半徑，BP=2

2

，旋轉90°，
然后以C為圓心，再旋轉90°，這時候以CP=2為半徑，
因此最終構成圖象如下：

S=2×

1

4

π•22+2×

1

2

×2×2+

1

4

•π•(2

2

)2=2π+4+2π=4π+4．
故答案為：8，4π+4．

點評：本題考查的知識點是函數圖象的變化，其中根據已知畫出正方形轉動過程中的一個周期內的圖象，利用數形結合的思想對本題進行分析是解答本題的關鍵．