Question

已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（1）求橢圓及動圓圓心軌跡的方程；
（2） 在曲線上有兩點、，橢圓上有兩點、，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

（1），
（2）四邊形PMQN面積的最小值為8

試題分析：解：（1）（ⅰ）由已知可得，
則所求橢圓方程.　　　　       3分
（ⅱ）由已知可得動圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點為，準線方程為，則動圓圓心軌跡方程為.               5分
（2）當直線MN的斜率不存在時，，此時PQ的長即為橢圓長軸長，
從而            6分
設直線MN的斜率為k，則k≠0，直線MN的方程為：，
直線PQ的方程為
設
由，消去可得---8分
由拋物線定義可知：
9分
由消去得，
從而                 10分
∴
令，∵則
則
=，所以=＞8           11分
所以四邊形PMQN面積的最小值為8                                  12分
點評：主要是考查了軌跡方程的求解，以及聯立方程組結合韋達定理來求解面積，屬于基礎題。