Question

設向量

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），

c

=（cosβ，-4sinβ）
（1）若

a

與

b

-2

c

垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若tanαtanβ=16，求證：

a

∥

b

．

Answer 1

分析：（1）根據題意算出向量

b

-2

c

的坐標，結合

a

與

b

-2

c

垂直，得

a

與

b

-2

c

的數量積為0，由此列出關于α、β的式子，最后用兩角和的正、余弦公式合并，化成正切即可得到tan（α+β）的值；
（2）將tanαtanβ=16化成正、余弦的式子，可得sinαsinβ=16cosαcosβ，再結合兩個向量平行（共線）的充要條件，可證出

a

∥

b

．

解答：解：（1）∵

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），且

a

與

b

-2

c

垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，…（3分）
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），…（4分）
∴sin（α+β）=2cos（α+β），
兩邊都除以2cos（α+β），得tan（α+β）=2．…（6分）
（2）∵tanαtanβ=16，
∴

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∵

a

=（4cosα，sinα），

b

=（sinβ，4cosβ），且4cosα•4cosβ=sinα•sinβ…（10分）
∴向量

a

與向量

b

共線，即

a

∥

b

．…（12分）

點評：本題給出向量的坐標為含有正、余弦的式子，求證向量互相平行，著重考查了平面向量數量積的運算、平面內兩個向量平行或垂直的關系和三角函數的化簡求值等知識，屬于基礎題．